Почему интеграл от 1/x — это логарифм, а не степенная функция

Каждый студент, изучающий математический анализ, знает, что x в степени n интегрируется в x в степени n плюс один, деленное на n плюс один, и что n равно минус единице — это «исключение», где внезапно появляется натуральный логарифм. Это видео показывает, что логарифм не заимствован откуда-то еще. Он обусловлен площадью под кривой y = 1/t (для t больше 0). Героический ход — это растяжение плоскости: (t, y) переходит в (2t, y/2). Его определитель Якоби равен 1, поэтому он перемещает области, не изменяя их площадь, и отображает кривую y = 1/t на себя. Область под кривой 1/t от 1 до 2 точно совпадает с областью от 2 до 4, что дает A(ab) = A(a) + A(b) для любых a и b больше 0: умножение на входные значения суммирует площади. Из этого уравнения мы получаем f(1) = 0 и f(x в степени p над q) = (p/q) f(x) для каждого рационального показателя степени. Чтобы зафиксировать функцию на всех положительных действительных числах, нам нужно еще одно предположение: непрерывность. Среди непрерывных функций на положительных действительных числах единственными решениями f(ab) = f(a) + f(b) являются постоянные кратные логарифму. Функция площади является интегралом, следовательно, непрерывной, поэтому она является логарифмом; основание, для которого константа равна 1, — это единственное x с площадью 1 от 1 до x, и это число равно e. Наконец, сама «дыра»: формула степени x в степени n плюс один минус 1 над n плюс один не определена при n = -1, но по мере приближения n к -1 она сходится к ln x. При x = 4 значения варьируются от 2,000 до 1,487, 1,396 и, в пределе, 1,386 = ln 4. Отверстие никогда не было отверстием. И условие t больше 0 не является украшением: интеграл 1/t по нулю, от -1 до 1, не существует (обе односторонние части расходятся, и разные способы обрезки вокруг 0 дают разные числа; симметричное главное значение 0 не является интегралом). Разделы: 00:00 Формула с дырой 00:45 Площадь под интегралом от единицы к t 01:25 Перемещение площади 02:39 Только одна функция делает это 04:02 Дыра никогда не была дырой 05:14 Где она ломается 📚 Ключевые понятия: Функция площади A(x) = интеграл от 1/t от 1 до x для x больше 0 Сохраняющее площадь отображение (t, y) в (bt, y/b) с определителем Якоби 1 Функциональное уравнение f(ab) = f(a) + f(b) и почему непрерывность (или монотонность) необходима для единственности e как единственное x больше 0 с A(x) = 1 Предел (x в степени n плюс один минус 1) над (n плюс один) при n, стремящемся к -1 Почему интеграл от 1/t от -1 до 1 не существует (главный значение не является интегралом) 📖 Источники: М. Спивак, Calculus (4-е изд.), Глава 18 «Логарифм и показательные функции» (логарифм определяется как интеграл от 1/t) Т. М. Апостол, Calculus, Vol. I (2-е изд.), Глава 6 «Логарифм, экспоненциальная функция и обратная тригонометрическая функция» Дж. Аксель, Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям (1966), Глава 2 (Функциональные уравнения Коши, включая f(xy) = f(x) + f(y)) Историческая справка: аддитивное свойство площади под гиперболой было открыто Грегуаром де Сен-Винсентом (1647) и связано с логарифмами Альфонсом Антонио де Сараса (1649) 🛠️ Инструменты, использованные в этом видео: Анимация: Manim (Python) Голос: ElevenLabs Верификация: NumPy, SymPy, mpmath (каждое отображаемое число проверено до 40 знаков после запятой) #calculus #logarithm #integral #math #manim