Приглашенная секционная лекция на ICM 2026 — Давид Киелак

Виртуальное расслоение многообразий и групп Можно многое узнать о компактном многообразии, если показать, что оно расслоено над окружностью — по сути, это позволяет рассматривать статическое n-мерное многообразие как многообразие размерности n-1, эволюционирующее во времени. Расслоение (над окружностью) — относительно редкое свойство. Гораздо чаще встречается виртуальное расслоение, то есть наличие конечного покрытия, которое является расслоенным. Например, в гипотезе Уильяма Тёрстона, теперь подтвержденной двумя теоремами Яна Агола и Дани Уайза, говорилось, что все гиперболические 3-многообразия конечного объема являются виртуально расслоенными; на самом деле, это свойство чрезвычайно распространено среди неприводимых 3-многообразий. Ситуация менее ясна в более высоких размерностях. Что касается препятствий, мы знаем, что виртуально расслоенные многообразия должны иметь нулевую эйлерову характеристику. Это сразу показывает, что компактные гиперболические многообразия в четных размерностях не будут виртуально расслоенными. Более сложная проблема возникает из-за L2-гомологии: виртуально расслоенные многообразия должны быть L2-ациклическими. Мотивация представленного мною исследования заключается в попытке найти ситуации, в которых исчезновение L2-гомологии является не только необходимым, но и достаточным условием для виртуального расслоения. Оказывается, что можно сказать гораздо больше, если заменить асферические многообразия их гомологическими аналогами: группами двойственности Пуанкаре. Конкретно, если G — n-мерная группа двойственности Пуанкаре над рациональными числами, и если G удовлетворяет свойству RFRS, то G является L2-ациклической тогда и только тогда, когда существует подгруппа G0 конечного индекса группы G и эпиморфизм из G0 на целые числа такой, что её ядро является группой двойственности Пуанкаре над рациональными числами размерности n-1. (Эта последняя теорема является совместной с работой Сэма Фишера и Джованни Итальяно.) Свойство RFRS было введено в работе Агола по гипотезе Тёрстона. Счётная группа является RFRS тогда и только тогда, когда она является остаточно {виртуально абелевой и поли-Z}. Все компактные специальные группы в смысле Хаглунда-Уайза удовлетворяют этому свойству, поэтому существует большой запас групп RFRS, в том числе среди фундаментальных групп гиперболических многообразий в высоких измерениях.