Теория кос | Редукция ручек и порядок Деорнуа

Часть 14. Мы обсудим ещё одну нормальную форму кос (нормальную форму Деорнуа) и введём на группе кос структуру левоинвариантного линейного порядка. Слайды: https://launch-control-center.notion.site/8-2a32967ff47e45f58c15d56f96c87b62?pvs=4 00:00 Положительность по Деорнуа 03:34 Свойства сравнения и ацикличности 06:27 Алгоритм Деорнуа редукции ручек 10:04 Определения ручек и их допустимости 11:27 Определение редукции ручки 13:32 Примеры 16:15 Определение редукции артиновского слова 18:47 Теорема об остановке алгоритма Деорнуа 22:03 Порядок Деорнуа и левоупорядочиваемость групп кос 23:59 Наглядное изображение порядка Деорнуа 30:01 Анонс геометрических интерпретаций 31:15 Антье Деорнуа и его свойства 33:57 Квазиморфизмы (квазихарактеры) и анонс их приложений Конспекты, задачи, литература, загадки, исследовательские проекты и открытые проблемы теории кос: https://launch-control-center.notion.site/2024-9be3874f7b184f34a9f3ff8352a52315?pvs=4 Теория кос является одним из интереснейших разделов маломерной топологии. Современные исследования кос затрагивают различные аспекты теории групп, комбинаторики, динамики, гиперболической геометрии, алгебраической топологии, случайных процессов, теории представлений, а сама теория кос проникает в алгебраическую геометрию, теорию узлов, теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую комбинаторику, теорию гомотопий, криптографию и т. д. К примеру, с помощью кос можно исследовать разрешимость алгебраического уравнения, зашифровать сообщение, описать произвольный узел или отображение между многомерными сферами. Мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории кос. Программа 1. Группа кос и её задание образующими и соотношениями, подходы к решению задачи распознавания кос. 2. Конфигурационные пространства: последовательность Фаделла–Нойвирта, группа кос поверхности. 3. Разложение Маркова–Ивановского–Артина группы крашеных кос в полупрямое произведение свободных групп, причёсывающий алгоритм. 4. Положительность и нормальная форма Гарсайда, жадный алгоритм, введение в теорию Гарсайда. 5. Порядок Деорнуа, алгоритм редукции ручек, введение в теорию упорядоченных групп. 6. Линейные представления группы кос: представления Бурау и Лоуренс–Краммера–Бигелоу, их геометрическая интерпретация. 7. Действие группы кос на свободной группе: координаты Артина и связь с порядком Деорнуа. 8. Группы классов отображений поверхностей: действие группы кос на кривых в проколотом диске, криволинейные диаграммы. 9. Действие группы кос на ламинациях и триангуляциях: координаты Дынникова. 10. Действие группы кос на железнодорожных путях: псевдо-аносовские косы и классификация Нильсена–Тёрстона. 11. Элементы гиперболической геометрии: действия группы кос на прямой и окружности, порядки тёрстоновского типа. 12. (По желанию слушателей) группа кос из трёх нитей, инварианты конечного типа, статистические вопросы, косы и узлы. Пререквизиты Знакомство с базовыми понятиями теории групп (действия групп, свободная группа, задания групп образующими и соотношениями), общей топологии (гомеоморфизмы, поверхности) и алгебраической топологии (гомотопии, клеточные пространства, фундаментальная группа). Курс вполне доступен первокурсникам, поскольку основан на материалах занятий для старшеклассников: https://t точка me/ldtss/388 (их можно считать демоверсией). Подробный алгоритм ликвидации безграмотности, а также обзор курса, его цели и условия получения зачёта доступны по ссылке https://launch-control-center.notion.site/0-dcf777def3ae4222ae4c873ed11f77b1?pvs=4.