№ 103. Колодец. Задание 17. ЕГЭ. Математика. Профильная.

При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр заплатили 1000 руб., а за каждый следующий на 500 руб. больше, чем за предыдущий. Сверх того за весь колодец дополнительно было уплачено 10 000 руб. Средняя стоимость 1 м оказалась равной 6250 руб. Определите глубину колодца. Давайте решим экономическую задачу. Прочитаем внимательно условие. При рытье колодца глубиной свыше десяти метров за первый метр заплатили тысячу рублей, а за каждый следующий на пятьсот рублей больше, чем за предыдущий. Такой числовой ряд называется "арифметическая прогрессия". Первый член прогрессии, А-ОДИН, равен одной тысяче. Разность прогрессии, ДЭ, равна пятистам. Что надо найти? Глубину колодца. То есть, число вырытых метров. А число вырытых метров это число членов прогрессии - ЭН. План действий такой. Выразим через ЭН последний член прогрессии, затем полусумму первого и последнего членов, затем сумму членов прогрессии, затем полную сумму, уплаченную за работу, затем среднюю стоимость одного метра. Эта стоимость дана по условию - шесть тысяч двести пятьдесят рублей. Решим уравнение, получим ответ. Поехали. Последний член прогрессии, А-ЭН, найдём по формуле. Подставим значения А-ОДИН и ДЭ. Раскроем скобки. Приведём подобные. Лишнее сотрём, оставим только нужное. Сложим первый и последний члены. Приведём подобные. Найдём полусумму первого и последнего членов. Найдём сумму членов прогрессии, ЭС-ЭН. Сумму членов прогрессии выпишем отдельно, остальное сотрём. Найдём полную сумму, уплаченную за работу. Это ЭС-ЭН плюс десять тысяч. Подставим выражение для ЭС-ЭН. Среднюю стоимость одного метра запишем как ЭС делённое на ЭН. Подставим выражение для ЭС. Перепишем полученное выражение. Остальное сотрём. Вспомним, что средняя стоимость одного метра - шесть тысяч двести пятьдесят рублей. Составим уравнение. Перепишем. Умножим левую и правую часть на ЭН. Получилось квадратное уравнение. Приведём его к стандартному виду. Заметим, что все числа кратны двумстам пятидесяти. Для удобства дальнейших вычислений, поделим левую и правую часть на двести пятьдесят. Перепишем. Корни подберём по теореме Виета. Дважды двадцать - сорок. Два плюс двадцать - двадцать два. Корни - два и двадцать. По условию, глубина колодца свыше десяти метров. Первый корень отбрасываем. Пишем ответ. Задача решена.