У этой кривой нет первообразной, зато есть точная площадь

Кривая e в степени минус x в квадрате не имеет элементарной первообразной, поэтому площадь под любой её частью нельзя записать обычным способом. Площадь под всей кривой равна квадратному корню из π. На кривой нет круга. В этом видео три классических вывода показаны последовательно, потому что интересно не то, что они совпадают. Интересно то, что π входит в каждый из них через совершенно разные двери. ПЕРВЫЙ ПУТЬ, ПУАССОН. Возведение интеграла в квадрат превращает задачу на прямой в задачу на плоскости. В полярных координатах элемент площади имеет множитель r, и r, умноженное на e в степени минус r в квадрате, — это именно то, что имеет первообразную. Угловая часть — это интеграл от dθ по кругу, что равно двум π. π — это полный оборот. ВТОРОЙ ПУТЬ, ФОРМУЛА ОТРАЖЕНИЯ. Подстановка t, равного x в квадрате, превращает гамму одной второй в тот же интеграл. Формула отражения Эйлера гласит: гамма s, умноженная на гамма одной минус s, равна пи, делённому на синус пи s, и одна вторая — единственное значение s, которое отражается само на себя. Синус пи, делённый на два, равен единице, поэтому гамма одной второй в квадрате равна пи. Пи принадлежит синусу. ТРЕТИЙ ПУТЬ, УОЛЛИС. Неравенство один плюс u не более чем e в степени u даёт многочлен ниже кривой и обратный многочлен выше неё. Две подстановки превращают оба в интегралы, которые Уоллис изучал в шестнадцатые пятидесятые годы, и их рекуррентное соотношение — это произведение Уоллиса, которое сходится к пи, делённому на два. Пи — это предел отношений целых чисел, без угла нигде. ЧТО НА ЭКРАНЕ Всё вычисляется, а не цитируется. Плоский интеграл вычисляется в декартовых координатах, поэтому проверка полярного ответа никогда не использует полярный аргумент. Формула отражения вычисляется при четырех значениях s, а не утверждается. Интегралы Уоллиса пересчитываются из собственной рекурсии и сравниваются с вещественной квадратурой, и каждое частное произведение является точным рациональным числом. Затем три пути применяются к одному и тому же числу. Одно число, на которое видео обращает внимание: интеграл от минус трех до трех равен 1,7724147, а квадратный корень из пи равен 1,7724539. Они совпадают до трех десятичных знаков и расходятся в четвертом, поэтому в видео говорится об обоих значениях и никогда не говорится, что они равны. ИСТОЧНИКИ Лиувилль, 1835 г., теорема о том, что первообразная не является элементарной. Пуассон, полярный аргумент, хотя он был известен и раньше. Эйлер, гамма-функция и формула отражения. Джон Уоллис, «Арифметика» Infinitorum, 1656, для этого продукта. Ставьте лайки и подписывайтесь, если хотите увидеть следующее видео. Музыка Винсента Рубинетти Скачать музыку на Bandcamp: https://vincerubinetti.bandcamp.com/album/the-music-of-3blue1brown