Лекция 1 | Поверхности бесконечного типа | Андрей Рябичев

18.07.2024 0:00 Мотивирующая задача (неправильная) 5:42 Определение Ends(X) через дополнение к компактам 14:17 Свойства множества концов 19:17 Определение Ends(X) через стягивающуюся последовательность 22:00 Пример: цветущее канторово дерево 32:48 Пример: концы бесконечного цилиндра 36:56 Определение Ends(X) через собственные лучи 40:45 Непланарные концы поверхности 51:41 Множество непланарных концов замкнуто 54:16 Теорема о классификации поверхностей с точностью до гомеоморфизма 59:02 Множество концов вкладывается в канторово множество 1:04:27 Любое подмножество канторова множества гомеоморфно чьему-то множеству концов 1:10:20 Доказательство Теоремы 1:17:29 Шаг 1: униформизация исчерпывающих компактов 1:25:08 Шаг 2: реализация заданного разбиения Ends(S') 1:38:18 Шаг 3: продолжение отображения 1:40:30 Шаг 4: как быть с ручками Все знают, что компактная ориентируемая поверхность без края гомеоморфна связной сумме торов. Теорема Дена – Ликориша утверждает, что любой гомеоморфизм такой поверхности, сохраняющий ориентацию, гомотопен композиции скручиваний Дена. Если рассматривать некомпактные поверхности, всё становится сложнее, но и интереснее. В курсе мы докажем теорему о классификации поверхностей бесконечного типа – для такой классификации достаточно проконтролировать, как поверхность устроена «на бесконечности», что в целом не очень сложно. Также мы поговорим про гиперболические структуры на некомпактных поверхностях и обсудим аналог теоремы Дена – Ликориша. Курс планируется наглядным, будет много картинок. Также я рассчитываю на живые обсуждения (как на самих лекциях, так и в другое время), в том числе касающиеся пока не решённых задач. Литература: J. Aramayona, N. G. Vlamis, «Big mapping class groups: an overview», https://arxiv.org/abs/2003.07950, (2020) T. Aougab, P. Patel, N. G. Vlamis, «Isometry groups of infinite-genus hyperbolic surfaces», https://arxiv.org/abs/2007.01982, (2020) Пререквизиты: Для понимания достаточно на базовом уровне быть знакомым с топологией: общей (гомеоморфизмы, гомотопии), алгебраической (гомологии, фундаментальная группа) и дифференциальной (касательные расслоения, римановы метрики). Возможно, хватит понимания определений этих объектов на наглядном уровне. Также не помешает знание каких-то простых фактов про обычные группы классов отображений, но, если потребуется, это будет быстро напомнено.