Часть А: Эффективные методы вычисления кривизны с помощью дифференциальной геометрии

Дифференциальная геометрия обычно не является обязательным компонентом первого курса общей теории относительности для физиков, но некоторое знакомство с ней может быть весьма полезным, поскольку это поможет понять некоторые загадочные «определения», используемые физиками — например, почему компоненты векторного поля преобразуются таким образом. В этой довольно длинной лекции, которую я разделил на несколько частей для удобства редактирования, я рассмотрю еще один аспект полезности методов дифференциальной геометрии. Здесь я покажу, как мы можем использовать уравнения структуры Картана для эффективного вычисления компонент тензора кривизны Римана. В этой части я введу основные структуры, необходимые для вычисления — формы связности, кручения и кривизны, а также представлю уравнения структуры Картана. Обратите внимание, что это не элементарная лекция — в том смысле, что я не определяю основные величины и не вывожу необходимые уравнения (если вы подождете достаточно долго, я обязательно представлю их в своей серии лекций по дифференциальной геометрии, но, возможно, лучше будет взять их из любого учебника, если вы заинтересованы в использовании этих методов), а скорее пошагово описываю процедуру, с помощью которой можно выполнить вычисления. Предполагается достаточный уровень знакомства с дифференциальными формами (1-формы, двумерные формы, внешние произведения, внешняя производная).