Электрон в сферически симметричной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

В лекции рассматривается задача об электроне в сферически симметричной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Отмечается, что, несмотря на математическую ценность, прямое приложение в ядерной физике такое решение не находит. Записывается стационарное уравнение Шрёдингера для сферически симметричного случая, когда волновая функция зависит только от радиуса r. Выполняется переход от декартовых к сферическим координатам, выводится действие оператора Лапласа на функцию от r, что приводит к тождеству ∇²ψ = (1/r)·d²(rψ)/dr². После подстановки в уравнение Шрёдингера вводится новая переменная p = r·ψ, что сводит задачу к уравнению гармонического осциллятора. Общее решение записывается в виде двух экспонент. Из граничных условий (конечность плотности вероятности в нуле и обращение волновой функции в ноль на стенке) определяются константы и получается условие квантования энергии. Энергетические уровни оказываются пропорциональны n² (квадрату целого числа) и разбегаются квадратично. В заключение подводится итог рассмотрению одномерных задач и обозначается переход к трёхмерным системам. Лектор Александр Сергеевич Чирцов