Михаил Блудов, "Сбалансированные наборы, их топологические свойства и цветная теорема Каратеодори"

Комбинаторика и топология — совместный семинар ВШМ и лаборатории комбинаторных и геометрических структур ФПМИ МФТИ. Страница семинара https://old.mccme.ru/ium/s23/ryabichev/f25-mipt-topkomb.html Доклад 24 октября 2025. Пусть у нас есть конечный набор точек в евклидовом пространстве. Подмножество этого набора будем называть сбалансированным, если его выпуклая оболочка содержит 0. Сбалансированные и несбалансированные наборы имеют множество эквивалентных формулировок и встречаются в разных областях математики. Относительно недавно появился интерес к топологическим свойствам этих наборов. Например, ясно, что семейство несбалансированных наборов образует симплициальный комплекс. Теперь, пусть нам дан набор точек в d-мерном пространстве, такой что его выпуклая оболочка является d-мерным многогранником, и при этом 0 лежит внутри этого многогранника. Тогда комплекс несбалансированных наборов является сферой размерности (d-1). Эта теорема была обнаружен докладчиком в контексте изучения теорем о покрытиях типа KKM. Независимо эта теорема была получена Павле Благоевичем в работе ''A Colorful Version of Carathéodory's Theorem plus a constraint'' https://arxiv.org/abs/2509.01000 в контексте изучения цветной теоремы Каратеодори и её обобщений. Саму же цветную теорему Каратеодори можно понимать как некоторое утверждение о сбалансированных наборах. Во время доклада планируется обсудить доказательство упомянутой теоремы о комплексе несбалансированных наборов. Также планируется обсудить работу П.Благоевича, какие-то ещё топологические свойства сбалансированных наборов, возможные дальнейшие обобщения и направленичя исследований.