Производная арккосинуса, неявное дифференцирование с arccos(x) + производная arccos(π*x)

00:00 Для работы с обратными функциями часто полезно дать функции имя, например, y = arccos(x). Чтобы найти производную обратного косинуса, необходимо обратить функцию обратного косинуса, например, cos(y) = x. В этом и заключается преимущество присвоения исходной функции имени: теперь мы имеем дело с обычным косинусом. Компромисс возникает при неявном дифференцировании arccos(x): слева мы получаем cos(y), но это функция от функции! Чтобы продифференцировать функцию от функции, необходимо использовать правило цепочки, поэтому мы дифференцируем по y, чтобы получить sin(y), затем добавляем производную y по x, dy/dx. Мы решаем уравнение относительно dy/dx, которое является производной исходной функции arccos, чтобы получить производную обратного косинуса *по y*. 01:25 Выразите производную arccos(x) через x: чтобы получить производную cos⁻¹(x) через x, нам нужно вычислить тригонометрическую функцию обратной тригонометрической функции: sin(arccos(x)). Для этого представим угол arccos(x) (угол, косинус которого равен x) в прямоугольном треугольнике. Мы обозначили угол, косинус которого равен x, поэтому мы можем обозначить прилежащий катет как x, а гипотенузу как 1. Затем мы используем теорему Пифагора, чтобы вычислить противолежащий катет треугольника как sqrt(1-x²). Теперь мы можем вычислить sin(cos⁻¹(x)) и записать формулу производной обратного косинуса полностью через x. 03:18 Производная обратного косинуса с помощью правила цепочки: наконец, мы рассмотрим пример производной arccos(π*x). Поскольку аргумент является функцией от x, нам необходимо применить правило цепочки к обратному косинусу. Мы дифференцируем по π*x, используя нашу новую формулу, затем добавляем производную от π*x, чтобы получить производную от cos⁻¹(π*x), и на этом всё!