Параллельность | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии в задачах 7-8

11. Середина стороны треугольника равноудалена от всех его вершин. Докажите, что этот треугольник прямоугольный. 12. Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекаются в точке O. Угол ABC равен α. Найдите угол AOC. 13. Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из одного угла треугольника, равен α. Найдите разность двух других его углов. 14. На стороне квадрата внутрь его построили равносторонний треугольник. Найдите угол α на чертеже. 15. На стороне квадрата ABCD построили равносторонний треугольник AED. Диагональ AC пересекает его сторону ED в точке K. Верно ли, что треугольник CEK равнобедренный? 16. На двух сторонах квадрата построены равносторонние треугольники. Лежат ли отмеченные на рисунке точки A, B и C на одной прямой? 17. Луч света последовательно отражается от двух взаимно перпендикулярных зеркал. Докажите, что он «возвращается» по параллельному направлению. (Считается известным, что угол падения луча света на зеркало равен углу его отражения.) 18. Чему равна сумма углов при вершинах произвольной пятиконечной звезды? 19. Тот же вопрос для такой семиугольной замкнутой ломаной, которая показана на рисунке. 20. Два угла расположены так, что их стороны взаимно перпендикулярны. Докажите, что а) величины этих углов равны; б) их биссектрисы перпендикулярны друг другу.