Как доказать, что для любого n ∈ ℕ найдётся такое m ∈ ℕ, что (sqrt(2)−1)^n=sqrt(m)−sqrt(m−1)?

Возьмем натуральное число n. Докажите, что найдется натуральное число m такое, что (sqrt(2)−1)^n=sqrt(m)−sqrt(m−1). Для начала докажем, что данное равенство, рассматриваемое как уравнение относительно m с параметром n, имеет единственное решение для любого значения параметра n, применяя к обеим частям равенства функцию, обратную функции f(m)=sqrt(m)−sqrt(m−1). Другими словами, докажем, что для любого натрульного n сущестует единственное вещественное число m, удовлетворяющее данному равенству. Далее докажем, что это число является натуральным. Для этого выразим 2sqrt(m) через n и воспользуемся разложениями выражений (sqrt(2)−1)^n и (sqrt(2)+1)^n в суммы с помощью формулы бинома Ньютона, рассмотрев, при этом, случаи чётности и нечётности n. В итоге приходим к выводу о том, что в случае чётного n m представляет собой квадрат натурального числа, а в случае нечётного n — удвоенный квадрат натурального числа. В обоих случаях из полученных результатов следует натуральность числа m. Предыдущий видеоролик с разбором задачи из "Конкурса первокурсника 2021", проходившего в ЛЭТИ: https://www.youtube.com/watch?v=zdJa9tj_vHQ