Формула с ортоцентром и высотами треугольника | Понарин 4.19

В этом видео доказывается формула, связывающая ортоцентр треугольника с его высотами, с использованием только известных соотношений и без построения чертежей. Разбор соответствует задаче 4.19 из сборника Я. П. Понарина «Элементарная геометрия. Планиметрия». Видео с канала efimath является частью плейлиста, посвящённого последовательному разбору задач из этого сборника. Материал ориентирован на олимпиадников, сильных школьников, а также студентов математических и педагогических вузов. Доказательство полностью опирается на ранее полученные формулы и результаты предыдущих задач. В частности, используются результаты задач 4.11, 4.13 и 4.18: – соотношения между сторонами треугольника и расстояниями от вершин до ортоцентра, – формула для расстояния между ортоцентром и центром описанной окружности, – равенство произведений отрезков, связанных с высотами. Условие задачи: В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁, H — ортоцентр. Докажите, что: AH·AA₁ + BH·BB₁ + CH·CC₁ = 1/2 (a² + b² + c²). В конце видео также выводится соответствующая формула для тупоугольного треугольника: AH·AA₁ + BH·BB₁ + CH·CC₁ = 24R² - 2,5 (a² + b² + c²). #планиметрия #олимпиаднаягеометрия #ортоцентр #высотытреугольника #формулывгеометрии #понарин #efimath Задача 4.18: https://youtu.be/DFLx2bn82ik Задача 4.13: https://youtu.be/AM1kzXEXtPs Задача 4.11: https://youtu.be/aBpxvioQXss