Электрическое поле заряженного кольца

В этом видео мы находим электрическое поле кольца заряда. Это второй пример нахождения электрического поля непрерывного распределения заряда. В этой задаче кольцо заряда, или круг заряда, имеет радиус R и линейную плотность заряда. Мы рассмотрим небольшую точку на кольце и её небольшой заряд, ΔQ. Внимательно рассмотрев кольцо, мы заметим, что для каждой точки на кольце есть другая точка на противоположной стороне. Эти заряды будут иметь горизонтальные компоненты своих электрических полей в противоположных направлениях. Z-компоненты будут направлены в одном направлении, прямо вверх вдоль положительной оси z. Каждую точку заряда можно представить как точечный заряд, поэтому мы можем использовать уравнение для электрического поля точечного заряда. Поскольку каждая точка на кольце находится на одинаковом расстоянии от точки P, каждая точка будет вносить одинаковый вклад в электрическое поле. Это упростит задачу по сравнению с нашим предыдущим примером линейного заряда. Мы будем использовать косинус заданного угла для нахождения z-компоненты электрического поля. Переписав расстояние 'r' и косинус тета через z, перпендикулярное расстояние от кольца до точки P, и R, радиус кольца, мы обнаруживаем, что все величины постоянны. Кроме того, нам нужно суммировать только малые заряды. Суммирование всех малых зарядов дает нам общий заряд на кольце, и мы получаем результат без использования интеграла. Технически, мы интегрируем заряд и суммируем его. Мы можем решить эту задачу другим способом, на этот раз используя интеграл и линейную плотность заряда. Каждый малый заряд dQ можно записать как линейную плотность заряда, умноженную на длину ds, которая представляет собой малую длину дуги. Поскольку радиус постоянен, каждый малый участок дуги можно записать как R, умноженное на малый угол d-φ. Будьте осторожны, не путайте угол φ петли с углом, который расстояние r от кольца до точки P образует с осью z. Теперь мы можем учесть заряд, интегрируя по координате φ петли. Переписав все снова через z и R, мы обнаруживаем, что единственным членом, который нужно интегрировать, является d-φ. Поскольку кольцо представляет собой полный круг, мы интегрируем от 0 до 2π. Это дает нам результат, который выглядит иначе, чем тот, который мы получили ранее. Но если мы подставим полный заряд, деленный на длину, которая в данном случае является окружностью кольца, мы получим тот же результат. Мы можем построить график z-компоненты электрического поля как функцию z и посмотреть, совпадает ли он с нашими ожиданиями. В центре кольца z-компонента поля отсутствует, а x- и y-компоненты по-прежнему взаимно компенсируются, поэтому поле равно нулю. Вдали от кольца мы ожидаем, что напряженность поля будет уменьшаться. Построив график поля, мы видим, что это согласуется с нашей логикой, и обнаруживаем, что максимальная напряженность поля находится чуть ниже длины одного радиуса над кольцом. В этой задаче мы увидели, что существуют дополнительные симметрии, которые упрощают эту задачу по сравнению с задачей о линии заряда. По возможности всегда следует искать подобные симметрии. Мы также видели, что существует несколько способов решения задачи, и результаты могут выглядеть по-разному, хотя и эквивалентны. При поиске примеров в интернете или других учебниках мы часто находим результат, который может отличаться от нашего или от того, что мы ожидали. Полезно попытаться понять путь к этим другим результатам и проверить с помощью подстановок, действительно ли они совпадают с нашим ответом. В противном случае мы должны найти ошибки!