Касательные к окружности | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 класс

11. Окружность касается всех сторон трапеции. Под каким углом из ее центра видны ее боковые стороны? 12. Окружность вписана в угол, причем расстояние между точками ее касания со сторонами угла равно радиусу. Найдите величину угла. 13. Две окружности вписаны в угол 60◦ , причем одна проходит через центр другой. Найдите отношение их радиусов. 14. На большем основании трапеции как на диаметре построили окружность. Оказалось, что она проходит через середины ее боковых сторон и касается другого основания. Найдите углы трапеции. 15. Прямая касается окружности радиуса 1 в точке A. Хорда AB образует с касательной угол 60◦ . Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки B на касательную 16. Окружность касается стороны BC треугольника ABC и продолжений двух других его сторон в точках M и K. Докажите, что отрезки AM и AK равны половине периметра треугольника. 17. Сторона квадрата равна 1. Прямая проходит на расстоянии 1/2 от его центра и отсекает от квадрата треугольник. Найдите периметр этого треугольника. 18. (Формула для отрезка касательной окружности, вписанной в треугольник.) В треугольник вписана окружность. Докажите, что расстояние x от его вершины до ближайшей к ней точки касания, указанное на рисунке, равно a + b − c 2 = p − c, где a, b, c –– стороны треугольника, а p –– половина периметра треугольника. 19. На основании AC равнобедренного треугольника ABC взяли точку K. В треугольники ABK и CBK вписали окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком BK, если AK =2, CK =5. 20. Окружность касается одной стороны треугольника и продолжений двух других. Найдите указанное на рисунке расстояние x от его вершины до одной из точек касания, если стороны треугольника равны a, b, c.