Разбираемся со значащими цифрами — работа с точностью вычислений

В науке следует сообщать только значащие числа. В принципе, нельзя записывать, что измеренное линейкой значение равно 1,372 мм (линии расположены на расстоянии 1 мм друг от друга, поэтому 3 — это приблизительная оценка, а остальное — просто самоуверенность!). Это ограничение по значащим цифрам распространяется и на вычисления, чтобы не разделить измеренное значение в 1 мм на 3 и не сообщить 1,3333333333, создавая впечатление гораздо большей точности измерения. И это ограничение распространяется и на указание погрешности, чтобы не указывать 1,3 +/- 0,125 (погрешность здесь означает, что у погрешности слишком много значащих цифр) или 1,3 +/- 5 (погрешность здесь означает, что у измеренного значения слишком много значащих цифр). В случае погрешности допускается только одна цифра! Я хочу рассмотреть все эти различные ситуации, но давайте начнем с того, чтобы разобраться, что же такое значащие цифры. (В формате блога с полным текстом): http://bit.ly/significantfiguress Как узнать, сколько у вас значащих цифр? Любое НЕНУЛЕВОЕ число является значащим, и вы начинаете отсчет с первой встреченной цифры. Нули могут быть значимыми, а могут и не быть… Если с каждой стороны есть ненулевые числа, то 0 должен находиться ✅ Если 0 находится в начале, можно продолжать стирать ❌ Но если 0 находится в конце, то это зависит от ситуации…❓ Если перед числом стоит десятичная запятая, то этот последний 0 имеет значение ✅ Если десятичная запятая стоит в конце, то этот 0 вам дорог ✅ Если десятичной запятой нет, но вам пришлось округлить, может возникнуть путаница. В такой ситуации обратитесь к научной нотации. В нерифмованной записи… 🔹 Ноль перед первым ненулевым (начальные нули) НЕ являются значащими ❌ 🔹 Ноль между ненулевыми значащими ✅ 🔹 Ноль после последнего ненулевого (конечные нули) НЕ являются значащими ❌ ЕСЛИ нет десятичной точки ✅ Например, 1, 01 и 001 имеют 1 значащую цифру, но 1.0 имеет 2, а 1.00 — 3. Если я добавлю нули в начало, они будут просто «лишними» ❌ НО если они находятся в конце И есть десятичная точка, они на самом деле что-то говорят ✅ (с другой стороны, 1, 10 и 100 имеют (только 1 значащая цифра, потому что нет десятичной точки) ⚠️ ВНИМАНИЕ, ИСКЛЮЧЕНИЕ!!!  ТОЧНЫЕ ЧИСЛА имеют неограниченное количество значащих цифр. Что я подразумеваю под «точными числами»? 🔹числа, которые «определены» (например, 1 ярд = 3 фута) 🔹числа, которые «подсчитаны» (например, «6 человек») 📝 Примечание о НАУЧНОЙ НОТАЦИИ: Научная нотация — это когда вы используете такие выражения, как 2 x 10³ для записи 2000 и 2 x 10⁶ для записи 2 миллионов. Часть «10^что-то» добавляет только НЕЗНАЧИТЕЛЬНЫЕ нули (все они являются ведущими или конечными нулями)❌. Таким образом, значащие цифры учитываются только из «уникальной части» (например, 9,0x10⁴, 9,0x10¹⁵ и 8,4x10¹⁵ имеют по 2 значащие цифры, НО 9x10⁴ имеет только 1). Теперь, когда мы знаем, что такое значащие цифры и как их считать, давайте посмотрим, как с ними работать, начиная с измерений, затем переходя к простым арифметическим операциям и заканчивая указанием погрешности. Чем больше цифр вы включаете, тем больше *кажется*, что вы знаете. НО количество ваших РЕАЛЬНЫХ знаний ограничено количеством знаний о том, о чём вы знаете меньше всего, а это ограничено вашим измерительным инструментом. У каждого измерительного инструмента есть свои ограничения. Каждое число, которое вы можете уверенно измерить (даже нули), ЯВЛЯЕТСЯ ЗНАЧИМЫМ (сообщает вам «реальную информацию»), тогда вы получаете 1 значимую «оценку» в качестве последней значащей цифры. Исходное количество значащих цифр (которое вы теперь умеете считать) получается из числа, которое вы получаете при ИЗМЕРЕ чего-либо. Но если вы затем выполняете ВЫЧИСЛЕНИЯ с этими измеренными числами, вам нужно убедиться, что вы не добавляете «фиктивные» значащие цифры. ОКРУГЛЕНИЕ… округляйте в конце, иначе то, где вы округлите раньше, повлияет на ваш окончательный ответ. обычно, если число равно 5 или больше, округляйте в большую сторону (например, 1,4 округляется до 1, а 1,5 — до 2). добавляйте нули в качестве «заполнителей» для незначащих цифр, которые вам пришлось удалить (например, 17 200 имеет 3 значащие цифры, округленных до 2 значащих цифр: 17 000 или 1 значащая цифра: 20 000). ⚠️ Может возникнуть путаница, если вам нужно округлить до 0 (например, если вы округлили 19 900 до 2 значащих цифр, вам нужно округлить до 20 000, что выглядит так, будто у него только 1 значащая цифра (ужас!)). Чтобы избежать неоднозначности, вы можете вместо этого написать это в научная запись, 2,0 х 10⁴) Итак, как узнать, где нужно округлять? Это зависит от того, какой тип вычислений вы выполнили. СЛОЖЕНИЕ ➕ И ВЫЧИТАНИЕ ➖: ответ должен иметь такое же количество десятичных знаков, как и исходное значение, с наименьшим количеством десятичных знаков (это можно запомнить, вспомнив мерную линейку и то, что последний десятичный знак — это наименьшее деление, которое можно указать). 🔹 например 10,37 - 1,2 = 9,2 (НЕ 9,17) УМНОЖЕНИЕ ✖️ И ДЕЛЕНИЕ ➗: ответ...