Закон Гаусса и электрический поток [основные понятия]

Закон Гаусса и электрический поток необходимы для лёгкого нахождения электрических полей с непрерывным распределением зарядов. В этом видео мы рассмотрим всё необходимое для понимания закона Гаусса, включая симметрию, электрический поток и поверхностные интегралы. 0:00 — Введение 0:46 — Что такое симметрия? 2:30 — Что такое электрический поток? 4:52 — Площадь как вектор 5:24 — Неоднородные электрические поля 6:30 — Расчёт электрического потока 7:20 — Замкнутые поверхности 8:55 — Что такое закон Гаусса? 9:42 — Пример закона Гаусса 10:46 — Закон Гаусса и закон Кулона Прежде всего, нам нужно понять симметрию. Мы хотим рассмотреть три типа симметрии: плоскую, цилиндрическую и сферическую. Примерами таких объектов являются бесконечная заряженная плоскость, цилиндр или стержень с зарядом и точечный заряд или шар с зарядом соответственно. Мы можем представить себе другую плоскость над нашей заряженной плоскостью, и каждая точка на этой плоскости будет иметь одинаковое значение и направление электрического поля. То же самое было бы верно, если бы мы обернули другой цилиндр вокруг нашего заряженного стержня, а сферу вокруг нашего шара с зарядом. Мы рассмотрим эти распределения зарядов с помощью закона Гаусса. Электрический поток — это величина электрического поля, проходящего через некоторую поверхность или область. На электрический поток через некоторую область влияют три фактора. Во-первых, если мы вращаем поверхность или область относительно поля, это определяет, насколько сильное поле может проникнуть через эту поверхность. Во-вторых, размер самой области. Чем больше площадь, тем больше силовых линий проходит через неё. И, наконец, напряжённость поля. Чем сильнее поле, тем больше поле, проходящее через контур. И если бы поле было уменьшено до нуля, поток также уменьшился бы до нуля. С математической точки зрения, мы можем взять все эти факторы и получить уравнение для электрического потока. Поскольку через поверхность проходят только линии электрического поля, перпендикулярные поверхности, поток будет равен напряжённости электрического поля, перпендикулярной поверхности, умноженной на площадь поверхности. Если мы определим угол между электрическим полем и нормалью к поверхности, мы можем записать поток как величину электрического поля, умноженную на площадь, умноженную на косинус этого угла. Это даёт нам электрический поток, где электрическое поле постоянно в каждой точке поверхности, но что, если поверхность неоднородна? Мы можем разбить нашу поверхность на множество небольших участков и использовать нашу формулу, полученную выше, для этого небольшого участка площади. Затем мы можем сложить их, чтобы получить полный поток поверхности. Если мы возьмём предел, где эти небольшие участки площади бесконечно малы, наша сумма превратится в интеграл по поверхности. Этот поверхностный интеграл может быть непросто вычислить. Но что, если бы мы могли упростить его вычисление? Если бы поле имело одинаковую величину в каждой точке поверхности и было перпендикулярно поверхности, интеграл значительно упростился бы. Во-первых, электрическое поле и вектор площади, перпендикулярный поверхности, будут направлены в одну сторону. Это упрощает скалярное произведение до электрического поля, умноженного на площадь. Поскольку величина электрического поля постоянна, она выносится за интеграл. И наконец, интеграл от оставшегося результата — это просто полная площадь поверхности. Это будет справедливо для всех симметрий, которые мы обнаружили ранее. Прежде чем мы изучим закон Гаусса, нас на самом деле интересуют замкнутые поверхности, такие как поверхность параллелепипеда или поверхность сферы. Это по-прежнему двумерные поверхности, то есть они полые, но они замкнуты, поэтому мы не можем попасть внутрь. Если мы представим себе поверхность параллелепипеда с положительным зарядом внутри, этот заряд будет создавать электрический поток через каждую сторону параллелепипеда, выходящий наружу. Мы определим это как положительный поток. Аналогично, отрицательный заряд будет иметь линии поля, входящие в параллелепипед, поэтому мы будем называть это отрицательным потоком. А если бы в ящике были положительный и отрицательный заряды, то величина положительного и отрицательного потоков была бы одинаковой, поэтому суммарный поток электрического поля через поверхность ящика был бы равен нулю. Это важно. Мы замечаем, что когда суммарный заряд внутри поверхности равен нулю, суммарный поток электрического поля через поверхность также равен нулю. И теперь мы готовы к закону Гаусса. Закон Гаусса гласит, что поток электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален плотности заряда внутри неё. Мы называем эти поверхности гауссовыми поверхностями, и они тоже замкнуты. Гауссовы поверхности не являются физическими поверхностями. Они математические, но позволяют нам вычислять физические величины, такие как электрическое поле. Наконец, мы используем закон Гаусса на практике только там, где есть симметрия. Теперь нам нужно знать, как ис...