064 — Количество чисел в факториале II | Составные основания

Сколько степеней составного числа, такого как 6, 12, 16 или 24, содержится в факториале? В части I мы подсчитали степени простых чисел в факториалах. Теперь всё немного сложнее. Когда число составное, сначала нужно разложить его на простые множители и определить, какое простое число является предельным множителем. Начните с плана подготовки к GMAT: https://gmat.gregmat.com/study-plans/the-gmat-study-plan РАЗДЕЛЫ 00:00 - Количество чисел в факториале II 00:12 - Сколько степеней 6 в 50!? 00:53 - Почему предыдущий трюк не работает напрямую 01:05 - Построение 6 из простых чисел 01:32 - Понимание предельного множителя 02:08 - Какое простое число ограничивает количество шестерок? 03:08 - Преобразование задачи в степени 3 03:32 - Подсчет степеней 3 в 50! 04:03 - 22 степени 6 в 50! 04:18 - Проверка ответа 05:12 - Что произойдет с 15? 05:33 - Сколько степеней 16 в 100!? 05:58 - Разложение 16 на простые множители 06:26 - Подсчет степеней 2 в 100! 06:43 - 97 степеней 2 06:57 - Преобразование двоек в степени 16 07:37 - Сколько степеней 12 в 80!? 07:50 - 12 = 2² × 3 08:18 - Сравнение количества двоек и троек 08:31 - Подсчет степеней двойки в 80! 08:52 - Подсчет степеней тройки в 80! 09:14 - Нахождение предельного множителя 09:39 - 36 степеней 12 в 80! 10:03 - Почему эти вопросы могут быть сложными 10:20 - Преобразование 12 в 24 10:44 - Изменение предельного множителя 10:59 - 26 степеней 24 в 80! Начнем с 6. Мы хотим узнать, сколько степеней 6 содержится в 50! Поскольку: 6 = 2 × 3 каждая шестерка требует одной двойки и одной тройки. В числе 50! больше двоек, чем троек, поэтому тройки становятся ограничивающим множителем. Это означает, что нам действительно нужно спросить: Сколько степеней 3 в числе 50!? Начнем с: 50 ÷ 3 = 16 Затем продолжим делить на 3, используя только целую часть: 16 ÷ 3 = 5 5 ÷ 3 = 1 Теперь сложим: 16 + 5 + 1 = 22 Таким образом, в числе 50! 22 степени 6. Теперь возьмем 16. 16 = 2⁴ Каждая шестнадцать требует четырех двоек. Количество степеней 2 в 100! равно: 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97 Но для каждого числа 16 нужно четыре двойки. Таким образом: 97 ÷ 4 = 24,25 Мы можем составить 24 полные группы. Таким образом, в 100! содержится 24 степени числа 16. Теперь перейдём к более интересному примеру: Сколько степеней числа 12 содержится в 80!? Разложим 12 на простые множители: 12 = 2² × 3 Каждое число 12 требует двух двоек и одной тройки. Сначала посчитаем двойки: 40 + 20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 78 Поскольку каждое число 12 требует двух двоек: 78 ÷ 2 = 39 Имеющиеся двойки позволяют построить 39 копий числа 12. Теперь посчитаем тройки: 26 + 8 + 2 = 36 Имеющиеся тройки позволяют построить только 36 копий. Таким образом, тройки являются ограничивающим множителем. Это означает: 80! содержит 36 степеней числа 12. Но если немного изменить число, ограничивающий множитель может измениться. Для числа 24: 24 = 2³ × 3 У нас по-прежнему 78 степеней двойки и 36 степеней тройки. Но теперь для каждой двойки требуется три двойки. Итак: 78 ÷ 3 = 26 Двойки могут составить 26 копий числа 24. Тройки могут составить 36. Теперь двойки являются ограничивающим множителем. Таким образом, в числе 80 содержится 26 степеней 24! Вывод: Когда число составное, сначала разложите его на простые множители. Затем проверьте, сколько полных копий необходимых простых множителей вы можете составить. Наименьшее значение является ограничивающим множителем. Это даёт вам максимальную степень составного числа внутри факториала. Тест к этому уроку: https://gmat.gregmat.com/quizzes/quiz/gmat-of-numbers-in-a-factorial-ii Для доступа к тесту вам потребуется бесплатная учетная запись GregMat. Продолжите полный курс по арифметике GMAT: https://www.youtube.com/playlist?list=PLFzybs-0YWa0EYHxE1BIFuWrT7r5VgGdb Полная платформа для подготовки к GMAT: https://gmat.gregmat.com/ Если этот урок вам помог, подпишитесь на канал GregMat и продолжайте проходить курс GMAT Quant Foundations. #Факториалы #GMATQuant #GMATArithmetic #Разложениенапростыемножители #Свойствачисел #GregMat