Интеграл от e^-x*sin(x) от нуля до бесконечности: двукратное интегрирование по частям с бесконечн...

Чтобы найти определённый интеграл от e^-x*sin(x) от нуля до бесконечности, нам нужно использовать приём интегрирования по частям, при котором мы дважды применяем интегрирование по частям в поисках копии исходного интеграла в правой части. На этот раз мы используем две итерации интегрирования по частям с бесконечным пределом, но обрабатываем предел на бесконечности неформально, используя тот факт, что e^-бесконечность однозначно равна нулю. Начнём с первой итерации интегрирования по частям и предположим, что u=e^-x и dv=sin(x)dx. Мы используем формулу интегрирования по частям для получения результата, который даёт нам -e^-x*cos(x) -integral(e^-x*cos(x)dx). Это определённый интеграл с интегрированием по частям, поэтому мы вычисляем первый член в пределах интегрирования, получая 1. Для вычисления требуется подставить бесконечность в e^-x*cos(x), но e^-бесконечность равна нулю, а cos(x) ограничен значениями от -1 до 1. Ноль, умноженный на конечное число, даёт нам ноль, поэтому этот член обращается в нуль. Подставляя нижний предел, получаем 1. Теперь применим интегрирование по частям во второй раз, обозначив u=e^-x (ту же часть интеграла, которую мы назвали u в первый раз) и dv=cos(x)dx. Применяя формулу интегрирования по частям, мы получаем ещё один член, который нужно вычислить от нуля до бесконечности (e^-x*sin(x)), в дополнение к копии исходного интеграла! Подставляя верхний и нижний пределы в e^-x*sin(x), мы получаем ноль для каждого предела, и наша правая часть теперь равна единице минус исходный интеграл. Теперь мы можем перенести обе копии исходного интеграла в левую часть и разделить на 2, чтобы получить окончательный результат для интеграла e^-x*sin(x) от нуля до бесконечности: 1/2.