Александр Калмынин. Алгебры иррац. вращений и теорема Риффеля о Морита-эквивалентности. 02.04.2025

Алгебры иррациональных вращений и теорема Риффеля о Морита-эквивалентности Попытка построить явную теорию полей классов для вещественно-квадратичных полей по аналогии с теорией комплексного умножения приводит к рассмотрению псевдорешеток. Псевдорешетки соответствуют "промежуточному вырождению" на верхней полуплоскости. Вместо рациональных точек на вещественной прямой, то есть каспов для модулярной кривой, приходится рассматривать вещественно-квадратичные иррациональности. Поскольку не вполне очевидно, что такое фактор комплексных чисел по псевдорешетке, на помощь приходит некоммутативная геометрия: утверждается, что вместо кольца функций на эллиптической кривой в вещественном случае нужно рассматривать некоммутативную C*-алгебру иррационального вращения. Более того, оказывается, что такие алгебры надо рассматривать не с точностью до изоморфизма, а с точностью до Морита-эквивалентности — тогда возникает естественное действие группы GL(2,Z) на иррациональных числах. Я поговорю о теореме Риффеля о Морита-эквивалентностях алгебр иррациональных вращений и разных фактах вокруг неё.