Внешние углы на сфере

Сумма внешних углов многоугольника на единичной сфере в сумме с его площадью равна 2пи. Для выпуклого многоугольника верно больше: объединение его внешних углов с самим многоугольником и его копией, симметричной относительно центра сферы, есть вся сфера. Так как площадь единичной сферы равна 4пи и площадь внешнего угла в 2 раза больше его величины, получаем требуемое равенство для площадей. Если многоугольник маленький, его форма близка к плоской. И действительно, если площадь многоугольника мала, то сумма внешних углов почти равна 2пи, как на плоскости. Теорема Гаусса -- Бонне обобщает случай плоскости и сферы на произвольные поверхности и связывает сумму внешних углов с интегралом гауссовой кривизны по площади многоугольника.