Симметрическая группа. Теорема Кэли

Группы можно вводить с помощью трех аксиом - ассоциативность, существование единицы, существование обратных элементов. А можно поступить по-другому. Группа - это такое подмножество S(X) биективных отображений некоторого множества X, которое замкнуто относительно операции композиции и взятия обратного отображения. При таком подходе, который и был исторически первым, группа интерпретируется как совокупность отображений некоторого множества. И на самом деле эти подходы эквивалентны в силу теоремы Кэли. Для конечных групп эта теорема доказывается в видео. Для произвольных групп доказательство аналогично. Формулировка теоремы в общем случае приведена в [2, стр. 13]. Примечания 1. В видео есть ссылка на лекцию (PT2). Она перезаписана в расширенном варианте под названием «Комбинаторика» и представлена на канале, см. [3]. 2. Обсуждение двух подходов к определению понятия группы содержится в лекции В.И.Арнольда, см. [4], отрывок 22.20 – 28.20. Список литературы [1] Э.Б.Винберг "Курс алгебры". М.: «Факториал Пресс», 2002 [2] Ю.А.Бахтурин "Основные структуры современной алгебры". М.: НАУКА, 1990 [3] Видео «Комбинаторика» на этом канале [4] В.И.Арнольд «Топология алгебры и гидродинамика арифметики. Лекция 1»: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=48 #математика #алгебра #группы